新型コロナウイルスの感染者数の爆発的増加（いわゆる“オーバーシュート”）を防ぐには、自主隔離などによって早い段階から感染拡大を遅らせることが極めて重要になる。いわゆる「カーヴの平坦化」と呼ばれる措置だが、なぜこの措置が鍵を握るのか。その根拠を数学的に解説する。
TEXT BY RHETT ALLAIN
TRANSLATION BY CHIHIRO OKA
JOSH EDELSON/AFP/AFLO
新型コロナウイルスによる感染症「COVID-19」が指数関数的に広がっていくことの恐ろしさについては、すでに先日の記事で説明した。指数関数的な拡大においては、始まってからしばらくは感染者の数はそれほど多くはならない。だが、ある時点から急増する。
これが各国政府が直面している問題だ。最悪の事態を回避するには、事態がそれほどひどくなく、さまざまな緊急措置の必要性が疑問視されるときから対策をとっておく必要がある。
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米国では3月16日時点の感染者数は約4,000人だったが、18日には約8,000人になった。2日間で4,000人増えたのだから、20日は12,000人、22日には16,000人になるだろうと思ったら、大間違いだ。
ここでは感染の増加率に注目する必要がある。米国での感染者数は、2日間で100パーセント伸びている。この割合で指数関数的に拡大した場合、20日には16,000人、22日には32,000人になる。実際、22日の総感染者数は32,644人だった。指数関数モデルに従えば、感染者数は22日から10日後には100万人になり、1カ月足らずで米国の全人口が新型コロナウイルスに感染することになる。
だが、もちろん現実にはそんなことは起こらない。状況が悪化することは確かだが、そこまで壊滅的な事態にはならないだろう。幸いなことに指数関数的な増加は、わたしたちを完全に捉えることはできないからだ。その理由を数学的に解き明かしていこう。
感染増加率は低下する
まず、指数関数モデルについておさらいしておこう。スタート時点の感染者数を「N」とすると、2日後となる3日目の感染者数は「2N」になる。このそれぞれがウイルスを広めていくため、さらに2日後には「4N」になる計算だ。こうして総感染者数は暴走する貨物列車のように増えていく。
次に、以下の数式を思い出して欲しい。感染者数の変化（𝚫N）を時間（𝚫t）で割ると、感染増加率（a）と感染者総数（N）の積に等しくなる。ここでは時間の単位は1日にしておく。
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仮に感染者数が1日で20パーセント増える（感染増加率は0.20）と仮定しよう。人口10,000人の小さな町に感染者が1人やってくると（つまり初日の感染者数は1だ）、感染者の数は以下のグラフのように増えていく。
ひと目でその恐ろしさがわかると思う。だが、世界各国の感染状況を調べると、実際にはこうはなっていない。
例えば、今回のパンデミック（世界的大流行）の震源地で感染拡大が始まってから最も時間が経っている中国では、感染者数の推移のグラフは緩やかなS字カーヴに近い形を描いている。本格的な拡大が始まってから10日間ほどは指数関数的な拡大が続いたが、その後は伸びが緩やかになり、最終的には新規感染者はほぼゼロに近づいた。つまり、悪化の一途をたどったわけではないのだ。
上記のグラフを作成したのは3月半ばころだが、その後も状況は変わっていない。中国の感染件数は全体で80,000件強で横ばいのままだ。ここから何が言えるだろうか。
まず、政府は感染者の隔離、出入国制限、学校やレストランの閉鎖など、さまざまな措置をとった。感染が最初に始まった武漢市および湖北省は封鎖されたので、感染の大きな危険に晒された人々は実質的に中国の総人口14億人の一部だった。
一方、数学的には別の説明もできる。指数関数モデルでは、1日の新規感染者数は無限に増え続ける。だが、人口が無限でない限りそんなことは起こらない。患者が増えればそれだけ健康な人の数は減っていき、新規の感染者数は落ち込むからだ。
つまり、感染増加率が一定に保たれることはあり得ず、時間とともに低下していく。周囲から区切られたエリアでは、指数関数モデルは特に感染拡大の後期から終盤において実情と合わなくなる。
ロジスティック関数が示していること
それでは、よりふさわしいモデルを探すために、感染者数（N）が増えるにつれて感染の伸びが低下していくという要素を盛り込んでみよう。具体的には感染可能な人数「Nmax」という概念を導入する（ごく単純化して言えば、Nmaxは特定のエリアの総人口だと考えればいい）。ここで以下の数式が得られる。
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これはロジスティック関数として知られるものだ。アウトブレイク（集団発生）の初期段階では、Nの値は非常に小さい。小さな値であるN（感染者数）を大きな値のNmax（総人口）で割るので、右辺のカッコ内は1に限りなく近い値になる。つまり、初期段階では感染者の伸びは指数関数的になる。
その後、Nが徐々に大きくなるとN/Nmaxは1に近づくので、カッコ内の計算の答えはゼロに近づき、𝚫Nは徐々に減っていく。この方程式ではNがNmaxを超えることはない。
それでは、Pythonを使ってこのロジスティック関数をグラフ化してみよう。Nmaxを80,000に設定し、aは前回の計算によって得られた0.394という数字を使う。これはアウトブレイク初期における中国の感染増加率だ。
なお、前回と同じように、それぞれの変数は変えられるようにしてある。鉛筆のアイコンをクリックして編集してみてほしい。鉛筆の左にある「▶︎」を押すとスクリプトが実行され、グラフが描かれるようになっている。
上のグラフは完璧ではないが、中国が実際にたどった道筋にかなり近くなっている。
「カーヴを平坦化」することの意味
アウトブレイクの初期段階と後期段階の両方で、ウイルスの拡散パターンを捉えたモデルが得られた。これを使って、州や郡などの自治体が学校閉鎖やイヴェントの禁止、外出制限といった対策を実行に移したあとで何が起きるか見ていこう。
すでに説明したロジスティック関数について、Nmaxの値は80,000のまま、感染増加率（a）の値だけを変化させる。aが0.394の場合が青、0.3の場合が赤だ。
見ればわかるように、どちらも感染者の総数は最終的には80,000に達するが、両方のシナリオには大きな違いがある。aを変えたことで何が変わったのだろう。それはロジスティック関数のグラフ全体の傾きだ。
ここで感染者の総数ではなく、新規感染が発生するスピードについて考えてみることにする。特定の日の新規感染者の数とその日の感染の伸びは、以下ような関係になっている。
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この数式における「Rate」は特定の日の感染者の伸びで、全体的な感染増加率（パーセント）の「a」とは違うものであることに注意しよう。感染者の総数ではなく、上記の数式で求められる日々の新規感染の伸びを時系列で追ったものが以下のグラフだ。
メディアなどで頻繁に言われる「カーヴの平坦化」とは、これを意味している。感染増加率が高いと、たくさんの人が一気にウイルスに感染する。感染者の一部は重症化して集中治療を必要とするが、病院がいっぱいだとトリアージ［編注：治療の優先度を決めること］を実施せざるを得ない。これがイタリアで起きていることだ。イタリアの感染致死率は10パーセント近くに達している。
「カーヴを平坦化する」とは、このグラフの山の部分をできるだけ低くすることだ。新規感染者の急増を避けるために、結果として感染拡大が続く期間は長くなる。
外出制限にうんざりしているなら、理想的な対処法だとは思えないだろう。しかし、医療システムが受ける打撃を最小限に抑えるためには、絶対に必要な措置なのだ。感染増加率を下げてカーヴをなだらかにすることで、たくさんの命を救うことができる。
実際、韓国では致死率は1パーセント程度だ。世界がこれに成功すれば、あとから振り返ったとき、新型コロナウイルスは結果的に人類滅亡の危機につながるような問題ではなかったと言えるだろう。とにかく冷静になることが必要なのだ。
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